Question

已知函數f（x）=x²+a．
（1）若是偶函數，在定義域上F（x）≥ax恒成立，求實數a的取值范圍；
（2）當a=1時，令g（x）=f（f（x））-λf（x），問是否存在實數λ，使g（x）在（-∞，-1）上是減函數，在（-1，0）上是增函數？如果存在，求出λ的值；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）把函數f（x）的解析式代入函數F（x）利用函數是偶函數求出b=0，把b=0代回函數F（x）的解析式，由F（x）≥ax恒成立分離出參數a，然后利用基本不等式求最值，則a的范圍可求；
（2）把a=1代入函數f（x）的解析式，求出函數g（x）解析式，由偶函數的定義得到函數g（x）為定義域上的偶函數，把函數g（x）在（-∞，-1）上是減函數，在（-1，0）上是增函數轉化為在區間（1，+∞）上是增函數，在（0，1）上是減函數，換元后利用復合函數的單調性得到換元后的二次函數的對稱軸，由對稱軸可求λ的值．
解答：解：（1）．
由F（x）是偶函數，∴F（-x）=F（x），即
∴-bx+1=bx+1，∴b=0．
即F（x）=x²+a+2，x∈R．
又F（x）≥ax恒成立，即x²+a+2≥ax恒成立，也就是a（x-1）≤x²+2恒成立．
當x=1時，a∈R
當x＞1時，a（x-1）≤x²+2化為，
而，∴．
當x＜1時，a（x-1）≤x²+2化為，
而，∴
綜上：；
（2）存在實數λ=4，使g（x）在（-∞，-1）上是減函數，在（-1，0）上是增函數．
事實上，當a=1時，f（x）=x²+1．
g（x）=f（f（x））-λf（x）=（x²+1）²+1-λ（x²+1）=x⁴+（2-λ）x²+（2-λ）．
∵g（-x）=（-x）⁴+（2-λ）（-x）²+（2-λ）=g（x）
∴g（x）是偶函數，要使g（x）在（-∞，-1）上是減函數，在（-1，0）上是增函數，
即g（x）只要滿足在區間（1，+∞）上是增函數，在（0，1）上是減函數即可．
令t=x²，當x∈（0，1）時t∈（0，1）；x∈（1，+∞）時t∈（1，+∞），
由于x∈（0，+∞）時，t=x²是增函數，記g（x）=H（t）=t²+（2-λ）t+（2-λ），
故g（x）與H（t）在區間（0，+∞）上有相同的增減性，
當二次函數H（t）=t²+（2-λ）t+（2-λ）在區間（1，+∞）上是增函數，在（0，1）上是減函數時，
其對稱軸方程為t=1，
∴，解得λ=4．
點評：本題考查了函數的性質，考查了函數的單調性與奇偶性的應用，考查了分類討論的數學思想方法，訓練了分離變量及利用基本不等式求參數的取值范圍，考查了二次函數的單調性．屬難題．