Question

已知△ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，已知cos2A+cos2B=2cos2C，則cosC的最小值為（　　）

• A．

  3

  2

• B．

  2

  2

• C．

  1

  2

• D．-

  1

  2

Answer 1

分析：利用倍角公式化為正弦形式，然后利用正弦定理化為邊，用余弦定理化為cosC，運(yùn)用基本不等式可求得最小值．

解答：解：由cos2A+cos2B=2cos2C，
得1-2sin²A+1-2sin²B=2（1-2sin²C），即sin²A+sin²B=2sin²C，
由正弦定理可得a²+b²=2c²，
由余弦定理可得c²+2abcosC=2c²，
所以cosC=

c2

2ab

=

a2+b2

4ab

≥

2ab

4ab

=

1

2

，
所以cosC的最小值為

1

2

，
故選C．

點(diǎn)評(píng)：本題考查三角函數(shù)的恒等變換及其化簡(jiǎn)求值、正余弦定理，考查靈活運(yùn)用公式解決問題的能力．