Question

（2008•奉賢區模擬）對于函數f（x）=x•sinx，給出下列三個命題：①f（x）是偶函數；②f（x）是周期函數；③f（x）在區間[0，π]上的最大值為

π

2

．正確的是

①

（寫出所有真命題的序號）．

Answer 1

分析：①研究函數的奇偶性，可用偶函數的定義來證明之；
②研究的是函數的周期性，采用舉對立面的形式說明其不成立；
③研究函數的單調性，可用兩個函數相乘時單調性的判斷方法進行判斷．

解答：解：對于①，由于f（-x）=-xsin（-x）=xsinx=f（x），故函數f（x）是偶函數，①正確；
對于②，當x=2kπ+

π

2

時，f（x）=x，隨著x的增大函數值也在增大，所以不會是周期函數，故②錯；
對于③，由于f'（x）=sinx+xcosx，在區間[0，

π

2

]上f'（x）＞0，在x=

π

2

時f'（x）＞0，f（

π

2

）=

π

2

；
所以在x=

π

2

的右邊，函數值繼續增大，故f（x）在區間[0，π]上的最大值大于

π

2

，故③錯．
故答案為：①．

點評：本題考點是函數的單調性判斷與證明，函數的奇偶性，函數的中心對稱的判斷及函數的周期性，涉及到的性質比較多，且都是定義型，本題知識性較強，做題時要注意準確運用相應的知識準確解題．