Question

若f（x）=x+

3

x

是定義在[1，k]上的函數，且恒有f（x）＞2

3

成立，則實數k的取值范圍是（　　）

• A．[1，

  3

  ]
• B．[1，

  3

  )
• C．(1，

  3

  ]
• D．(1，

  3

  )

Answer 1

分析：確定函數在[1，

3

]上單調遞減，在[

3

，+∞）上單調遞增，結合基本不等式，即可得到結論．

解答：解：∵f（x）=x+

3

x

，∴函數在[1，

3

]上單調遞減，在[

3

，+∞）上單調遞增
并且f（x）=x+

3

x

≥2

3

，x=

3

時，f（x）=2

3

，
∵f（x）=x+

3

x

是定義在[1，k]上的函數，且恒有f（x）＞2

3

成立，
∴1＜k＜

3

故選D．

點評：本題考查函數的單調性，考查恒成立問題，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．