Question

【題目】已知f（x）是定義在[﹣1，1]上的奇函數，且f（1）=1，若m，n∈[﹣1，1]，m+n≠0 時，有 ．
（1）求證：f（x）在[﹣1，1]上為增函數；
（2）求不等式 的解集；
（3）若 對所有 恒成立，求實數t的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：證明：任取x1，x2∈[﹣1，1]且x1＜x2，則 ，

∴f（x2）＞f（x1），∴f（x）為增函數

（2）解： ，等價于 ，求得0≤x＜ ，

即不等式 的解集為

（3）解：由于f（x）為增函數，

∴f（x）的最大值為 對 恒成立 對 的恒成立，

設 ，則 ．

又 = =1+tan2α+2tanα+2=（tanα+1）2+2，

∵α∈[﹣ ， ]，∴tanα∈[﹣ ，1]，故當tanα=1時，

∴t2+t≥6，求得t≤﹣3 t≥2，即為所求的實數t的取值范圍．

【解析】（1）由條件利用增函數的定義證得結論．（2）根據函數的奇偶性和單調性，把要解的不等式等價轉化為一個不等式組，求得此不等式的解集即可．（3）根據函數的單調性求得f（x）的最大值，可得t2+t≥g（α）= +2tanα+2 對 的恒成立，再求得g（α）的最大值，從而求得t的范圍．
【考點精析】認真審題，首先需要了解函數的最值及其幾何意義(利用二次函數的性質（配方法）求函數的最大（小）值；利用圖象求函數的最大（小）值；利用函數單調性的判斷函數的最大（小）值)，還要掌握函數奇偶性的性質(在公共定義域內，偶函數的加減乘除仍為偶函數；奇函數的加減仍為奇函數；奇數個奇函數的乘除認為奇函數；偶數個奇函數的乘除為偶函數；一奇一偶的乘積是奇函數;復合函數的奇偶性：一個為偶就為偶，兩個為奇才為奇)的相關知識才是答題的關鍵．