Question

函數f（x）=[x]的函數值表示不超過x的最大整數，如[1.6]=1，[2]=2，已知0≤x＜4．
（Ⅰ）求函數f（x）的表達式；
（Ⅱ）記函數g（x）=x-f（x），在給出的坐標系中作出函數g（x）的圖象；
（Ⅲ）若方程g（x）-log_a（x-

1

2

）=0（a＞0且a≠1）有且僅有一個實根，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）按照f（x）的定義，分段討論即可求出；
（Ⅱ）先把g（x）=x-f（x）表示出來，由g（x）的表達式可作出其圖象；
（Ⅲ）數形結合：方程g（x）-log_a（x-

1

2

）=0（a＞0且a≠1）有且僅有一個實根，等價于g（x）與h（x）=loga(x-

1

2

) 圖象僅有一個交點，結合圖象可得到a的限制條件，由此可求其范圍．

解答：解：（Ⅰ）由題意，
①當0≤x＜1時，f（x）=[x]=0；②當1≤x＜2時，f（x）=[x]=1；
③當2≤x＜3時，f（x）=[x]=2；④當3≤x＜4時，f（x）=[x]=3；
所以f（x）=

0，0≤x＜1 1，1≤x＜2 2，2≤x＜3 3，3≤x＜4

．
（Ⅱ） g（x）=x-f（x）=

x，0≤x＜1 x-1，1≤x＜2 x-2，2≤x＜3 x-3，3≤x＜4

，圖象如圖所示：
           
（Ⅲ）方程g（x）-loga(x-

1

2

)=0僅有一根等價于g（x）與h（x）=loga(x-

1

2

) 圖象僅有一個交點，
由圖象可知0＜a＜1 時，h（1）=loga

1

2

≥1=logaa，解得

1

2

≤a＜1；
a＞1時，h（2）=loga

3

2

≥1=logaa或

h(3)=loga 5 2 ＜1 h(4)=loga 7 2 ≥1

，解得1＜a≤

3

2

或

5

2

＜a≤

7

2

．
綜上，a的范圍是[

1

2

，1）∪（1，

3

2

]∪（

5

2

，

7

2

]．

點評：本題考查函數作圖、函數解析式的求解及函數的零點問題，本題滲透了數形結合思想、分類討論思想．