Question

如圖所示，某市準(zhǔn)備在一個湖泊的一側(cè)修建一條直路OC；另一側(cè)修建一條觀光大道，它的前一段OD是以O(shè)為頂點(diǎn)，x軸為對稱軸，開口向右的拋物線的一部分，后一段DBC是函數(shù)y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜），x∈[4，8]時(shí)的圖象，圖象的最高點(diǎn)為B（5，），DF⊥OC，垂足為F．
（I）求函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的解析式；
（II）若在湖泊內(nèi)修建如圖所示的矩形水上樂園PMFE，問點(diǎn)P落在曲線OD上何處時(shí)，水上樂園的面積最大？

Answer 1

解：（Ⅰ）對于函數(shù)y=Asin（ωx+φ）由圖象可知，A=，ω==，
將（5，），代入y=sin（x+φ）得：，
|φ|＜，所以φ=，所以函數(shù)的解析式為y=sin（x）．
（Ⅱ）在y=sin（x）中，令x=4，得D（4，4）
從而得曲線OD的方程為y²=4x，（0≤x≤4）．
設(shè)點(diǎn)P（）（0≤t≤4），則矩形PMFE的面積為S=，0≤t≤4．
因?yàn)镾′=4-，由S′=0得t=，且t∈時(shí)S′＞0，S遞增，
t∈時(shí)S′＜0，S遞減，
所以當(dāng)t=，S最大，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．
分析：（I）利用函數(shù)的解析式，結(jié)合函數(shù)的圖象求出A，ω，通過函數(shù)經(jīng)過B，求出φ，即可求函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的解析式；
（II）求出D（4，4），曲線OD的方程為y²=4x，（0≤x≤4）．推出矩形的面積的表達(dá)式，利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求出面積的最大值，推出P的位置即可．
點(diǎn)評：本題考查已知三角函數(shù)模型的應(yīng)用問題，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式，考查分析問題解決問題的能力．