Question

已知數列{a_n}滿足a₁＝1，a_n－a_n－1＋2a_na_n－1＝0(n∈N^*，n>1)．
(1)求證：數列是等差數列并求數列{a_n}的通項公式；
(2)設b_n＝a_na_n＋1，求證：b₁＋b₂＋…＋b_n< .

Answer 1

（1）見解析（2）見解析

(1)已知a_n－a_n－1＋2a_na_n－1＝0，兩邊同除以a_na_n－1得－＝2.
則數列是以1為首項，2為公差的等差數列，
于是＝2n－1，a_n＝ (n∈N^*)．
(2)由(1)知b_n＝，則
b₁＋b₂＋…＋b_n＝＋＋…＋＝(1－＋－＋…＋－)＝(1－)<