Question

已知函數f(x)=(

1

3

)x-log2x，正實數a、b、c成公差為正數的等差數列，且滿足f（a）f（b）f（c）＜0，若實數d是方程f（x）=0的一個解，那么下列四個判斷：①d＜a；②d＞b；③d＜c；④d＞c中，有可能成立的個數為

3

．

Answer 1

分析：根據函數的單調性，結合數列是等差數列，設出a，b，c的關系，推出a，b，c，d的大小關系，得到選項推出結果．

解答：解：f(x)=(

1

3

)x-log2x，是由y=(

1

3

)x 和 y=-log₂x，
兩個函數中，每個函數都是減函數，所以，函數為減函數．
∵正實數a，b，c是公差為正數的等差數列，
∴不妨設0＜a＜b＜c
∵f（a）f（b）f（c）＜0
則f（a）＜0，f（b）＜0，f（c）＜0   或者f（a）＞0，f（b）＞0，f（c）＜0
綜合以上兩種可能，恒有 f（c）＜0
所以可能有①d＜a；②d＜b；④d＜c，正確．
故答案為：3．

點評：本題考查指數函數與對數函數的基本性質，正確估計函數值與a，b，c的大小關系是解題的關鍵，考查計算能力，邏輯推理能力．