Question

設函數f（x）=a^x+b^x-c^x，其中c＞a＞0，c＞b＞0．若a，b，c是△ABC的三條邊長，則下列結論中正確的是（　　）
①對一切x∈（-∞，1）都有f（x）＞0；
②存在x∈R⁺，使xa^x，b^x，c^x不能構成一個三角形的三條邊長；
③若△ABC為鈍角三角形，則存在x∈（1，2），使f（x）=0．

• A、①②
• B、①③
• C、②③
• D、①②③

Answer 1

分析：①利用指數函數的性質以a．b．c構成三角形的條件進行證明．②可以舉反例進行判斷．③利用函數零點的存在性定理進行判斷．

解答：解：①∵a，b，c是△ABC的三條邊長，∴a+b＞c，
∵c＞a＞0，c＞b＞0，∴0＜

a

c

＜1，0＜

b

c

＜1，
當x∈（-∞，1）時，f（x）=a^x+b^x-c^x=c^x[(

a

c

)x+(

b

c

)x-1]
＞c^x•（

a

c

+

b

c

-1）=c^x•

a+b-c

c

＞0，∴①正確．
②令a=2，b=3，c=4，則a，b，c可以構成三角形，
但a²=4，b²=9，c²=16卻不能構成三角形，∴②正確．
③∵c＞a＞0，c＞b＞0，若△ABC為鈍角三角形，則a²+b²-c²＜0，
∵f（1）=a+b-c＞0，f（2）=a²+b²-c²＜0，
∴根據根的存在性定理可知在區間（1，2）上存在零點，
即?x∈（1，2），使f（x）=0，∴③正確．
故選：D

點評：本題考查的知識點較多，考查函數零點的存在性定理，考查指數函數的性質，以及余弦定理的應用，屬中檔題．