Question

某漁場魚群的最大養(yǎng)殖量為m噸，為保證魚群的生長空間，實際養(yǎng)殖量x要小于m，留出適當?shù)目臻e量，空閑量與最大養(yǎng)殖量的比值叫空閑率，已知魚群的年增加量y（y噸）和實際養(yǎng)殖量x（噸）與空閑率的乘積成正比（設(shè)比例系數(shù)k＞0）．
（1）寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式，并指出定義域；
（2）求魚群年增長量的最大值；
（3）當魚群年增長量達到最大值時，求k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由題意求出空閑率，然后利用正比例關(guān)系得y與x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）利用配方法求二次函數(shù)的最值；
（3）魚群年增長量達到最大值時，應保證實際養(yǎng)殖量和增加量的和在0到m之間，由此列不等式求解k的取值范圍．

解答：解：（1）由題意得空閑率為

m-x

m

，則y=kx•

m-x

m

=kx(1-

x

m

)，0＜x＜m；
（2）∵y=-

k

m

x2+kx=-

k

m

(x-

m

2

)2+

mk

4

，
∴當x=

m

2

時，ymax=

mk

4

；
（3）由題意得：0＜x+y＜m，即0＜

m

2

+

mk

4

＜m，解得-2＜k＜2．
又∵k＞0，∴0＜k＜2．
∴k的取值范圍是（0，2）．

點評：本題考查了函數(shù)模型的選擇與應用，考查了利用配方法求二次函數(shù)的最值，解答的關(guān)鍵是對題意的理解，是中檔題．