Question

【題目】已知橢圓C： 的右焦點(diǎn)為F（1，0），且點(diǎn)（﹣1， ）在橢圓C上．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）已知動直線l過點(diǎn)F，且與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，試問x軸上是否存在定點(diǎn)Q，使得 恒成立？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意，c=1

∵點(diǎn)（﹣1， ）在橢圓C上，∴根據(jù)橢圓的定義可得：2a= ，∴a=

∴b2=a2﹣c2=1，

∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為

（2）解：假設(shè)x軸上存在點(diǎn)Q（m，0），使得 恒成立

當(dāng)直線l的斜率為0時(shí)，A（ ，0），B（﹣ ，0），則 =﹣ ，∴ ，∴m= ①

當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)， ， ，則 =﹣ ，

∴

∴m= 或m= ②

由①②可得m= ．

下面證明m= 時(shí)， 恒成立

當(dāng)直線l的斜率為0時(shí)，結(jié)論成立；

當(dāng)直線l的斜率不為0時(shí)，設(shè)直線l的方程為x=ty+1，A（x1，y1），B（x2，y2）

直線方程代入橢圓方程，整理可得（t2+2）y2+2ty﹣1=0，∴y1+y2=﹣ ，y1y2=﹣

∴ =（x1﹣ ，y1）（x2﹣ ，y2）=（ty1﹣ ）（ty2﹣ ）+y1y2=（t2+1）y1y2﹣ t（y1+y2）+ = + =﹣

綜上，x軸上存在點(diǎn)Q（ ，0），使得 恒成立

【解析】（1）利用橢圓的定義求出a的值，進(jìn)而可求b的值，即可得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）先利用特殊位置，猜想點(diǎn)Q的坐標(biāo)，再證明一般性也成立即可．