Question

【題目】已知點(diǎn)P(2,2)，圓C：x2＋y2－8y＝0，過(guò)點(diǎn)P的動(dòng)直線l與圓C交于A，B兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)為M，O為坐標(biāo)原點(diǎn).

(1)求M的軌跡方程；

(2)當(dāng)|OP|＝|OM|時(shí)，求l的方程.

Answer 1

【答案】(1) M的軌跡方程是(x－1)2＋(y－3)2＝2 (2) x＋3y－8＝0

【解析】

(1)圓C的方程即x2＋(y－4)2＝16，設(shè)M(x，y)，則＝(x，y－4)，＝(2－x,2－y).由·＝0可得M的軌跡方程是(x－1)2＋(y－3)2＝2.

(2)由題意結(jié)合(1)的結(jié)論可得M的軌跡是以點(diǎn)N(1,3)為圓心，為半徑的圓.結(jié)合幾何關(guān)系可知，l的斜率為－，故l的方程為x＋3y－8＝0.

(1)圓C的方程可化為x2＋(y－4)2＝16，所以圓心為C(0,4)，半徑為4.

設(shè)M(x，y)，則＝(x，y－4)，＝(2－x,2－y).

由題設(shè)知·＝0，故x(2－x)＋(y－4)(2－y)＝0，即(x－1)2＋(y－3)2＝2.

由于點(diǎn)P在圓C的內(nèi)部，所以M的軌跡方程是(x－1)2＋(y－3)2＝2.

(2)由(1)可知M的軌跡是以點(diǎn)N(1,3)為圓心，為半徑的圓.

由于|OP|＝|OM|，故O在線段PM的垂直平分線上，又P在圓N上，從而ON⊥PM.

因?yàn)?/span>ON的斜率為3，所以l的斜率為－，故l的方程為x＋3y－8＝0.