Question

在平面直角坐標系xoy中，已知圓C₁：（x+3）²+（y-1）²=4和圓C₂：（x-4）²+（y-5）²=4
（I）若直線l過點A（4，0），且被圓C₁截得的弦長為2

3

，求直線l的方程；
（II）設P（a，b）為平面上的點，滿足：存在過點P的兩條互相垂的直線l₁與l₂，l₁的斜率為2，它們分別與圓C₁和圓C₂相交，且直線l₁被圓C₁截得的弦長與直線l₂被圓C₂截得的弦長相等，試求滿足條件的a，b的關系式．

Answer 1

分析：（I ）因為直線l過點A（4，0），故可以設出直線l的點斜式方程，又由直線被圓C₁截得的弦長為2

3

，根據半弦長、半徑、弦心距滿足勾股定理，我們可以求出弦心距，即圓心到直線的距離，得到一個關于直線斜率k的方程，解方程求出k值，代入即得直線l的方程．
（II）根據題意，可以設出過P點的直線l₁與l₂的點斜式方程，分析可得圓C₁的圓心到直線l₁的距離和圓C₂的圓心到直線l₂的距離相等，即可以得到一個關于a、b的方程，整理變形可得答案．

解答：解：（Ⅰ）若直線l的斜率不存在，則直線x=4與圓C₁不相交，
故直線l的斜率存在，不妨設為k，則直線l的方程為y=k（x-4），
即kx-y-4k=0圓C₁圓心（-3，1）到直線的距離d=

|-3k-1-4k|

1+k2

，
直線l被圓C₁截得的弦長為2

3

，則d=

22-( 3 )2

=1，
聯立以上兩式可得k=0或k=-

7

24

，
故所求直線l方程為y=0或y=-

7

24

(x-4)．

（Ⅱ）依題意直線的方程可設為l₁：y-b=2（x-a），l₂：y-b=-

1

2

(x-a)，
因為兩圓半徑相等，且分別被兩直線截得的弦長相等，
故圓C₁的圓心到直線l₁的距離和圓C₂的圓心到直線l₂的距離相等，
即

|-6-1-2a+b|

5

=

|4+10-2b-a|

5

，
解得：a-3b+21=0或3a+b-7=0．

點評：在解決與圓相關的弦長問題時，我們有三種方法：一是直接求出直線與圓的交點坐標，再利用兩點間的距離公式得出；二是不求交點坐標，用一元二次方程根與系數的關系得出，即設直線的斜率為k，直線與圓聯立消去y后得到一個關于x的一元二次方程再利用弦長公式求解，三是利用圓中半弦長、弦心距及半徑構成的直角三角形來求．對于圓中的弦長問題，一般利用第三種方法比較簡捷．本題所用方法就是第三種方法．