Question

已知x²-mx+n=0的兩根為α，β，且1＜α＜2＜β，則m²+n²的取值范圍是（　　）

• A、[12，+∞）
• B、（12，+∞）
• C、[13，+∞）
• D、（13，+∞）

Answer 1

分析：結合二次方程相應的二次函數的圖象，令f（1）＞0，f（2）＜0，列出不等式組，畫出不等式表示的可行域，m²+n²表示可行域內的點到原點的距離，結合圖求出m²+n²的范圍．

解答：解：令f（x）=x²-mx+n
∵x²-mx+n=0的兩根為α，β，且1＜α＜2＜β
∴

f(1)=1-m+n＞0 f(2)= 4- 2m+n＜0

畫出不等式表示的平面區域
m²+n²表示可行域內的點到原點的距離的平方，由圖知當圓經過（3，2）時最小，
∴m²+n²＞3²+2²=13
故選D

點評：本題考查一元二次方程的根的分布，結合二次函數的圖象從判別式、對稱軸與區間的位置、區間端點值的符號考慮、考查線性規劃求最值．