Question

已知四棱錐P-ABCD的底面ABCD是邊長為2的正方形，PD⊥底面ABCD，E，F分別為棱BC、AD的中點.
（1）求證：DE∥平面PFB；
（2）已知二面角P-BF-C的余弦值為，求四棱錐P-ABCD的體積.

Answer 1

（Ⅰ）因為E，F分別為正方形ABCD的兩邊BC，AD的中點，
所以,                           2分
所以，為平行四邊形,              3分
得，                            4分          
又因為平面PFB，且平面PFB,   所以DE∥平面PFB.           5分
（Ⅱ）如圖，以D為原點，射線DA,DC,DP分

別為x,y,z軸建立空間直角坐標系.           6分
設PD=a,     可得如下點的坐標：
P(0,0,a),F(1,0,0),B(2,2,0)           則有：
因為PD⊥底面ABCD，所以平面ABCD的一個法向量為，    7分
設平面PFB的一個法向量為，則可得
  即 
令x=1,得，所以.          8分
由已知，二面角P-BF-C的余弦值為，所以得:
,              
解得a =2.  因為PD是四棱錐P-ABCD的高，所以，其體積為.

(1)證：DE//BF即可；
（2）可以利用向量法根據二面角P-BF-C的余弦值為,確定高PD的值，即可求出四棱錐的體積.也可利用傳統方法直接作出二面角的平面角，求高PD的值也可.在找平面角時，要考慮運用三垂線或逆定理.