Question

我們把離心率為黃金比

5 -1

2

的橢圓稱為“優美橢圓”．設

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）為“優美橢圓”，F．A分別是它的左焦點和右頂點，B是它短軸的一個端點，則∠ABF等于（　　）

• A、60°
• B、75°
• C、90°
• D、120°

Answer 1

分析：由

c

a

=

5 -1

2

可得2c2=(3-

5

)a2驗證|FA|²=|FB|²+|AB|²成立所以所以∠FBA等于 90°．

解答：解：∵

c

a

=

5 -1

2

，∴2c2=(3-

5

)a2
在三角形FAB中有b²+c²=a²，|FA|=a+c，|FB|=a，|AB|=

a2+b2

，∴|FA|²=（a+c）²=a²+c²+2ac，|FB|²+|AB|²=2a²+b²=3a²-c²，∴|FA|²=|FB|²+|AB|²=

3+ 5

2

a2，所以∠FBA等于 90°．
故選C．

點評：解決此類問題關鍵是熟練掌握橢圓的幾何性質，以及利用邊長關系判斷三角形的形狀的問題．