Question

（15分）已知函數(shù)（不同時為零的常數(shù)），導(dǎo)函數(shù)為.
（1）當(dāng)時，若存在使得成立，求的取值范圍；
（2）求證：函數(shù)在內(nèi)至少有一個零點；
（3）若函數(shù)為奇函數(shù)，且在處的切線垂直于直線，關(guān)于的方程在上有且只有一個實數(shù)根，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

（1）；（2）函數(shù)在內(nèi)至少有一個零點；（3）或．

第一問中，利用當(dāng)時，若存在使得成立，即說明了
當(dāng)時，==，其對稱軸為直線，
當(dāng) ，解得，當(dāng)，無解，
所以的的取值范圍為、
第二問中，法二：，，．
由于不同時為零，所以，故結(jié)論成立．
第三問中，因為=為奇函數(shù)，所以, 所以，
又在處的切線垂直于直線，所以，即
結(jié)合函數(shù)單調(diào)性得到結(jié)論。
解：（1）當(dāng)時，==，其對稱軸為直線，
當(dāng) ，解得，當(dāng)，無解，
所以的的取值范圍為．………………………………………………4分
（2）因為，
法一：當(dāng)時，適合題意………………………………………6分
當(dāng)時，，令，則，
令，因為，
當(dāng)時，，所以在內(nèi)有零點．
當(dāng)時，，所以在（內(nèi)有零點．
因此，當(dāng)時，在內(nèi)至少有一個零點．
綜上可知，函數(shù)在內(nèi)至少有一個零點．……………………10分
法二：，，．
由于不同時為零，所以，故結(jié)論成立．
(3)因為=為奇函數(shù)，所以, 所以，
又在處的切線垂直于直線，所以，即．
因為　所以在上是増函數(shù)，在上是減函數(shù)，由解得，如圖所示，
當(dāng)時，，即，解得；
當(dāng)時， ，解得；
當(dāng)時，顯然不成立；
當(dāng)時，，即，解得；
當(dāng)時，，故．
所以所求的取值范圍是或．