Question

平面內給定三個向量

a

=（3，2），

b

=（-1，2），

c

=（4，1）．回答下列問題：
（1）若（

a

+k

c

）∥（2

b

-

a

），求實數k；
（2）設

d

=（x，y）滿足（

d

-

c

）∥（

a

+

b

）且|

d

-

c

|=1，求

d

．

Answer 1

分析：（1）利用兩個向量共線的條件x₁•y₂-x₂•y₁=0．
（2）利用兩個向量共線的條件x₁•y₂-x₂•y₁=0  及|

d

-

c

|=1，解出向量

d

的坐標．

解答：解（1）∵（

a

+k

c

）∥（2

b

-

a

），
又

a

+k

c

=（3+4k，2+k），2

b

-

a

=（-5，2），
∴2×（3+4k）-（-5）×（2+k）=0，∴k=-

16

13

．
（2）∵

d

-

c

=（x-4，y-1），

a

+

b

=（2，4），
又（

d

-

c

）∥（

a

+

b

）且|

d

-

c

=1，
∴

4(x-4)-2(y-1)=0 (x-4)2+(y-1)2=1

，解得

x=4+ 5 5 y=1+ 2 5 5

或

x=4- 5 5 y=1- 2 5 5

．
∴

d

=（

20+ 5

5

，

5+2 5

，5

），或

d

=（

20- 5

5

，

5-2 5

5

）．

點評：本題考查向量共線的條件及向量的模的概念．