Question

已知點F是雙曲線的左焦點，點E是該雙曲線的右頂點，過F且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A，B兩點，若△ABE是直角三角形，則該雙曲線的離心率e為（ ）
A．
B．2
C．
D．

Answer 1

【答案】分析：利用雙曲線的對稱性及直角三角形，可得∠AEF=45°，從而|AF|=|EF|，求出|AF|，|EF|得到關于a，b，c的等式，即可求出離心率的值．
解答：解：∵△ABE是直角三角形，∴∠AEB為直角
∵雙曲線關于x軸對稱，且直線AB垂直x軸
∴∠AEF=∠BEF=45°
∴|AF|=|EF|
∵F為左焦點，設其坐標為（-c，0）
∴|AF|=
∴|EF|=a+c
∴=a+c
∴c²-ac-2a²=0
∴e²-e-2=0
∵e＞1，
∴e=2
故選B．
點評：本題考查雙曲線的對稱性、考查雙曲線的三參數關系：c²=a²+b²、考查雙曲線的離心率，屬于中檔題．