Question

【題目】(本題滿分15分)已知中心在原點O，焦點在x軸上，離心率為的橢圓過點(，)．

(Ⅰ) 求橢圓的方程；

(Ⅱ) 設不過原點O的直線l與該橢圓交于P，Q兩點，滿足直線OP，PQ，OQ的斜率依次成等比數列，求△OPQ面積的取值范圍．

Answer 1

【答案】(1)；（2）.

【解析】

(Ⅰ) 解：由題意可設橢圓方程為(a＞b＞0)，

則故

所以，橢圓方程為． ……………………………5分

(Ⅱ) 解：由題意可知，直線l的斜率存在且不為0，

故可設直線l的方程為y＝kx＋m(m≠0)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，

由消去y得

(1＋4k2)x2＋8kmx＋4(m2－1)＝0，

則Δ＝64k2b2－16(1＋4k2b2)(b2－1)＝16(4k2－m2＋1)＞0，

且，．

故 y1 y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2．

因為直線OP，PQ，OQ的斜率依次成等比數列，

所以＝＝k2，

即＋m2＝0，又m≠0，

所以k2＝，即k＝．

由于直線OP，OQ的斜率存在，且Δ＞0，得

0＜m2＜2 且m2≠1．

設d為點O到直線l的距離，

則S△OPQ＝d |PQ |＝|x1－x2 | |m |＝，

所以S△OPQ的取值范圍為 (0，1)． ……………………………15分