Question

某高校在2011年的自主招生考試成績中隨機抽取100名學生的筆試成績，按成績分組：第1組[160，165]，第2組[165，170]，第3組[170，175]，第4組[175，180），第5組[180，185），得到的頻率分布直方圖如圖所示．
（1）為了能選拔出最優秀的學生，該校決定在筆試成績高的第3、4、5組中用分層抽樣的方法抽取6名學生進入第二輪面試，求第3、4、5組每組各抽取多少學生進入第二輪面試？
（2）在（1）的前提下，高校決定在這6名學生中隨機抽取2名學生接受甲考官的面試，求第4組至少有一名學生被甲考官面試的概率．
（3）根據頻率直方圖，求筆試成績的中位數．

Answer 1

分析：（1）求出第3、4、5組共有60名學生，所以利用分層抽樣在60名學生中抽取6名學生，得到第3、4、5組分別抽取的人數．
（2）設在這6名學生中隨機抽取2名學生的事件接受甲考官的面試事件A，第4組至少有一名學生被甲考官面試為事件B，事件A包含的基本事件數為

C

2 2

+

C

1 2

C

1 4

，事件B包含的基本事件數為

C

2 6

，由此能求出第4組至少有一名學生被甲考官面試的概率．
（3）第一、二兩組的頻率和為0.4，第三組的頻率為0.3，所以中位數落在第三組，由此能求出筆試成績的中位數．

解答：解：（1）第3組的人數為0.3×100=30，
第4組的人數為0.2×100=20，
第5組的人數為0.1×100=10．…（2分）
因為第3、4、5組共有60名學生，
所以利用分層抽樣在60名學生中抽取6名學生（3分）
每組抽取的人數分別為第3組：

30

60

×6=3，
第4組：

20

60

×6=2，第5組：

10

60

×6=1，
所以第3、4、5組分別抽取3人、2人、1人．…（5分）
（2）設在這6名學生中隨機抽取2名學生的事件接受甲考官的面試事件A，
第4組至少有一名學生被甲考官面試為事件B，…（6分）
事件A包含的基本事件數為

C

2 2

+

C

1 2

C

1 4

…（7分）
事件B包含的基本事件數為

C

2 6

…（8分）
所以第4組至少有一名學生被甲考官面試的概率為
p=

C 2 2 + C 1 2 C 1 4

C 2 6

=

9

15

=

3

5

．…（10分）
（3）第一、二兩組的頻率和為0.4，
第三組的頻率為0.3，
所以中位數落在第三組．（11分）
設中位數距離170為x，則

0.1

0.3

=

x

5

，解得x=1

2

3

…（13分）
故筆試成績的中位數為171

2

3

．（取近似值不扣分）…（14分）

點評：本題考查頻率分布直方圖的應用，是基礎題．解題時要認真審題，仔細解答．