Question

（本小題滿分12分）二次函數f（x）滿足且f（0）=1.
(1)求f（x）的解析式;
(2)在區間上,y= f（x）的圖象恒在y=2x+m的圖象上方,試確定實數m的范圍.

Answer 1

解： (1)設f（x）=ax²+bx+c，由f（0）=1得c=1，故f（x）=ax²+bx+1.
∵f(x+1)-f(x)=2x,∴a(x+1)²+b(x+1)+1-(ax²+bx+1)=2x.
即2ax+a+b=2x,所以,∴f(x)=x²-x+1.
(2)由題意得x²-x+1>2x+m在[-1,1]上恒成立.即x²-3x+1-m>0在[-1,1]上恒成立.
設g(x)= x²-3x+1-m,其圖象的對稱軸為直線x=,所以g(x) 在[-1,1]上遞減.
故只需g(1)>0,即1²-3×1+1-m>0,解得m<-1.        

略