Question

如圖，A是以BC為直徑的⊙O上一點，AD⊥BC于點D，過點B作⊙O的切線，與CA的延長線相交于點E，G是AD的中點，連結CG并延長與BE相交于點F，延長AF與CB的延長線相交于點P．
（1）求證：BF=EF；
（2）若PB=BC=3

2

，求PA的長．

Answer 1

考點：與圓有關的比例線段

專題：選作題,立體幾何

分析：（1）利用平行線截三角形得相似三角形，得△BFC∽△DGC且△FEC∽△GAC，得到對應線段成比例，再結合已知條件可得BF=EF；
（2）利用直角三角形斜邊上的中線的性質和等邊對等角，得到∠FAO=∠EBO，結合BE是圓的切線，得到PA⊥OA，從而得到PA是圓O的切線，即可求出PA的長．

解答： （1）證明：∵BC是圓O的直徑，BE是圓O的切線，
∴EB⊥BC，又∵AD⊥BC，∴AD∥BE，
∴△BFC∽△DGC，△FEC∽△GAC，∴

BF

DG

=

EF

AG

，
∵G是AD的中點，∴DG=AG，∴BF=EF；
（2）解：連結AO，AB．
∵BC是圓O的直徑，∴∠BAC=90°，
在Rt△BAE中，由（1）知F是斜邊BE的中點，
∴AF=FB=EF，∴∠FBA=∠FAB
又∵OA=OB，∴∠ABO=∠BAO，
∵BE是圓O的切線，∴∠EBO=90°，
∵∠EBO=∠FBA+∠ABO=∠FAB+∠BAO=∠FAO=90°，
∴PA是圓O的切線．
∴PA²=PB•PC=3

2

•6

2

=36，
∴PA=6．

點評：本題著重考查了直角三角形的性質、相似三角形的判定與性質和圓的切線判定定理等知識，屬于中檔題．