Question

【題目】如圖所示，在四棱錐P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，PA＝2，∠ABC＝90°，，BC＝1， ，∠ACD＝60°，E為CD的中點．

(1)求證：BC∥平面PAE；

(2)求點A到平面PCD的距離．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】(1)證明：∵AB＝，BC＝1，∠ABC＝90°，

∴AC＝2，∠BCA＝60°.

在△ACD中，∵AD＝2，AC＝2，∠ACD＝60°，

∴AD2＝AC2＋CD2－2AC·CD·cos∠ACD，

∴CD＝4，∴AC2＋AD2＝CD2，∴△ACD是直角三角形，

又E為CD中點，∴AE＝CD＝CE，

∵∠ACD＝60°，∴△ACE為等邊三角形，

∴∠CAE＝60°＝∠BCA，∴BC∥AE，

又AE平面PAE，BC平面PAE，∴BC∥平面PAE.

(2)設點A到平面PCD的距離為d，根據題意可得，

PC＝2，PD＝CD＝4，∴S△PCD＝2，

∵VP－ACD＝VA－PCD，∴·S△ACD·PA＝·S△PCD·d，

∴××2×2×2＝×2d，∴d＝，

∴點A到平面PCD的距離為.