Question

某建筑公司要在一塊寬大的矩形地面(如圖所示)上進行開發建設，陰影部分為一公共設施建設不能開發，且要求用欄柵隔開(欄柵要求在一直線上)，公共設施邊界為曲線f(x)＝1－ax2(a＞0)的一部分，欄柵與矩形區域的邊界交于點M、N，交曲線于點P，設P(t，f(t))．

(1)將△OMN(O為坐標原點)的面積S表示成t的函數S(t)；

(2)若在t＝處，S(t)取得最小值，求此時a的值及S(t)的最小值．

 

Answer 1

（1）S(t)＝（2）a＝，

【解析】(1)y′＝－2ax，∴切線斜率是－2at，

∴切線方程為y－(1－at2)＝－2at(x－t)．

令y＝0，得x＝，∴M，令x＝0，得y＝1＋at2，∴N(0，1＋at2)，

∴△OMN的面積S(t)＝.

(2)S′(t)＝，

由a＞0，t＞0，S′(t)＝0，得3at2－1＝0，即t＝.

當3at2－1＞0，即t＞時，S′(t)>0；

當3at2－1<0，即0<t<時，S′(t)<0.

∴當t＝時，S(t)有最小值．

已知在t＝處，S(t)取得最小值，故有＝，

∴a＝.故當a＝，t＝時，S(t)min＝S＝＝.