Question

求證1×2+2×3+3×4+…+n(n+1)=

1

3

n(n+1)(n+2)．

Answer 1

證明：①當n=1時，左邊=2，右邊=

1

3

×1×2×3=2，等式成立；
②假設當n=k時，等式成立，
即1×2+2×3+3×4+…+k(k+1)=

1

3

k(k+1)(k+2)
則當n=k+1時，
左邊=

1

3

k(k+1)(k+2)+(k+1)(k+2)=（k+1）（k+2）（

1

3

k+1）=

1

3

（k+1）（k+2）（k+3）
即n=k+1時，等式也成立．
所以1×2+2×3+3×4+…+n(n+1)=

1

3

n(n+1)(n+2)對任意正整數都成立．