【題目】若正整數數列
，
滿足：對任意
，
，都有
恒成立，則稱數列，為“友好數列”.
（1）已知數列，的通項公式分別為
，
，求證：數列，為“友好數列”；
（2）已知數列，為“友好數列”，且
，求證：“數列是等差數列” 是“數列是等比數列”的充分不必要條件.
【答案】（1）證明見詳解；（2）證明見詳解.
【解析】
（1）根據錯位相減法，結合等差數列和等比數列的通項公式進行求解即可；
（2）根據充分不必要條件的定義，結合友好數列的定義進行證明即可.
（1）因為數列
，
的通項公式分別為
，
，
所以有
，
令
所以有
，
得：
所以
，
而
，因此有對任意
，
，都有
恒成立，所以數列，為“友好數列”；
（2）因為數列，為“友好數列”，所以對任意，，都有
恒成立，
因此有
，得：
，
若數列是等差數列，則有
，已知數列是正整數數列，因此有
，因此數列是等比數列；
若數列是等比數列，設公比為
，則有
，顯然只有當
時，數列是等差數列，因此由數列是等差數列能推出數列是等比數列，但由數列是等比數列不一定能推出數列是等差數列，因此“數列是等差數列”是“數列是等比數列”的充分不必要條件.
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【題目】如圖，在四棱錐
中，等邊三角形
所在的平面垂直于底面
，
， 
，
是棱
的中點．
（Ⅰ）求證：
平面
；
（Ⅱ）求二面角
的余弦值；
（Ⅲ）判斷直線
與平面
的是否平行，并說明理由．
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【題目】某校為了解家長對學校食堂的滿意情況，分別從高一、高二年級隨機抽取了20位家長的滿意度評分，其頻數分布表如下：
滿意度評分分組 |
|
|
|
|
| 合計 |
高一 | 1 | 3 | 6 | 6 | 4 | 20 |
高二 | 2 | 6 | 5 | 5 | 2 | 20 |
根據評分，將家長的滿意度從低到高分為三個等級：
滿意度評分 | 評分 | 70 | 評分 |
滿意度等級 | 不滿意 | 滿意 | 非常滿意 |
假設兩個年級家長的評價結果相互獨立，根據所給數據，以事件發生的頻率作為相應事件發生的概率.現從高一、高二年級各隨機抽取1名家長，記事件
：“高一家長的滿意度等級高于高二家長的滿意度等級”，則事件發生的概率為__________.
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【題目】（本題滿分13分）
某食品廠進行蘑菇的深加工，每公斤蘑菇的成本20元，并且每公斤蘑菇的加工費為
元（為常數，且
，設該食品廠每公斤蘑菇的出廠價為
元（
），根據市場調查，銷售量
與
成反比，當每公斤蘑菇的出廠價為30元時，日銷售量為100公斤.
（Ⅰ）求該工廠的每日利潤
元與每公斤蘑菇的出廠價元的函數關系式；
（Ⅱ）若
，當每公斤蘑菇的出廠價為多少元時，該工廠的利潤最大，并求最大值.
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【題目】設橢圓
(a>b>0)的左焦點為F，上頂點為B. 已知橢圓的離心率為
，點A的坐標為
，且
.
（I）求橢圓的方程；
（II）設直線l： 
與橢圓在第一象限的交點為P，且l與直線AB交于點Q. 若
(O為原點) ，求k的值.
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【題目】2018年10月28日，重慶公交車墜江事件震驚全國，也引發了廣大群眾的思考——如何做一個文明的乘客.全國各地大部分社區組織居民學習了文明乘車規范.
社區委員會針對居民的學習結果進行了相關的問卷調查，并將得到的分數整理成如圖所示的統計圖.
（Ⅰ）求得分在
上的頻率；
（Ⅱ）求社區居民問卷調查的平均得分的估計值；（同一組中的數據以這組數據所在區間中點的值作代表）
（Ⅲ）以頻率估計概率，若在全部參與學習的居民中隨機抽取5人參加問卷調查，記得分在
間的人數為
，求的分布列.
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【題目】2018年10月28日，重慶公交車墜江事件震驚全國，也引發了廣大群眾的思考——如何做一個文明的乘客.全國各地大部分社區組織居民學習了文明乘車規范.
社區委員會針對居民的學習結果進行了相關的問卷調查，并將得到的分數整理成如圖所示的統計圖.
（1）求得分在
上的頻率；
（2）求社區居民問卷調查的平均得分的估計值；（同一組中的數據以這組數據所在區間中點的值作代表）
（3）由于部分居民認為此項學習不具有必要性，社區委員會對社區居民的學習態度作調查，所得結果統計如下：（表中數據單位：人）
認為此項學習十分必要 | 認為此項學習不必要 | |
50歲以上 | 400 | 600 |
50歲及50歲以下 | 800 | 200 |
根據上述數據，計算是否有
的把握認為居民的學習態度與年齡相關.
附：
，其中
.
| 0.100 | 0.050 | 0.010 | 0.001 |
| 2.706 | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
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