Question

【題目】一個盒子中裝有大量形狀大小一樣但重量不盡相同的小球，從中隨機抽取個作為樣本，稱出它們的重量（單位：克），重量分組區間為，，，，由此得到樣本的重量頻率分布直方圖（如圖）.

（Ⅰ）求的值，并根據樣本數據，試估計盒子中小球重量的眾數與平均值；

（Ⅱ）從盒子中隨機抽取個小球，其中重量在內的小球個數為，求的分布列和數學期望. （以直方圖中的頻率作為概率）.

Answer 1

【答案】（Ⅰ），眾數20，平均數24.6；（Ⅱ）分布列見解析，期望為．

【解析】

試題分析：（Ⅰ）由頻率分布直方圖中所有小矩形面積（頻率）之和為1，可計算出,眾數取頻率最大即矩形最高的那個矩形的中點橫坐標，平均值用各矩形中點值乘頻率相加即得；（Ⅱ）的可能取值為、、、，利用樣本估計總體，該盒子中小球重量在內的概率為，因此有，從而可得分布列，最后由期望公式可計算出期望．

試題解析：（Ⅰ）由題意，得，

解得；

又由最高矩形中點的的橫坐標為20，可估計盒子中小球重量的眾數約為20（克）

而個樣本小球重量的平均值為：（克）

故由樣本估計總體，可估計盒子中小球重量的平均值約為克；

（Ⅱ）利用樣本估計總體，該盒子中小球重量在內的概率為

則.的可能取值為、、、，

，，

，.

的分布列為：

.（或者）