Question

已知橢圓W的中心在原點，焦點在x軸上，離心率為

6

3

，兩條準線間的距離為6．橢圓W的左焦點為F，過左準線與x軸的交點M任作一條斜率不為零的直線l與橢圓W交于不同的兩點A、B，點A關于x軸的對稱點為C．
（Ⅰ）求橢圓W的方程；
（Ⅱ）求證：

CF

=λ

FB

（λ∈R）；
（Ⅲ）求△MBC面積S的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據離心率，準線和a，b和c的關系，聯立方程求得a，b和c．橢圓的方程可得．
（Ⅱ）根據準線方程可求得M的坐標．于是可設直線l的方程為y=k（x+3），點A，B的坐標分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），則點C的坐標為（x₁，-y₁），y₁=k（x₁+3），y₂=k（x₂+3）．進而根據橢圓的第二定義得

|FB|

|FC|

，判斷出B，F，C三點共線，
（Ⅲ）根據三角形面積公式求得S的表達式，根據k的范圍確定S的范圍．

解答：解：（Ⅰ）設橢圓W的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1，由題意可知

c a = 6 3 a2=b2+c2 2• a2 c =6

解得a=

6

，c=2，b=

2

，
所以橢圓W的方程為

x2

6

+

y2

2

=1．
（Ⅱ）因為左準線方程為x=-

a2

c

=-3，所以點M坐標為（-3，0）．
于是可設直線l的方程為y=k（x+3），點A，B的坐標分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），
則點C的坐標為（x₁，-y₁），y₁=k（x₁+3），y₂=k（x₂+3）．
由橢圓的第二定義可得

|FB|

|FC|

=

x2+3

x1+3

=

|y2|

|y1|

，
所以B，F，C三點共線，即

CF

=λ

FB

．
（Ⅲ）由題意知S=

1

2

|MF||y1|+

1

2

|MF||y2|=

1

2

|MF|•|y1+y2|=|MF|

1

2

|k(x1+x2)+6k|；
又由M（-3，0），F（-2，0），則|MF|=1，
則S=

3|k|

1+3k2

=

3

1 |k| +3|k|

≤

3

2 3

=

3

2

，
當且僅當k2=

1

3

時“=”成立，
所以△MBC面積S的最大值為

3

2

．

點評：本題主要考查了橢圓的應用．知識點多，復雜難懂，應熟練掌握橢圓的一些基本性質．