Question

已知函數f(x)=x³+bx²+cx+d(b,c,d∈R且都為常數)的圖象過點(1,7),其導函數在x=處取得最小值.設F(x)=f(x)-ax²(a∈R).

(1)當a＜2時,求F(x)的極小值;

(2)已知P:x∈［0,+∞),Q:F(x)≥0,若P為Q的充分條件,求實數a的取值范圍.

Answer 1

解:(1)f′(x)=3x²+2bx+c=3(x+)²+c.

依題意,解得

∴f(x)=x³+2x²+4.

∴F(x)=f(x)-ax²=x³+2x²+4-ax²=x³+(2-a)x²+4.

則F′(x)=3x²+2(2-a)x=x［3x+2(2-a)］.

由F′(x)=0,得x₁=0,x₂=.

∵a＜2,∴x₁＞x₂.

當x變化時,F′(x)、F(x)的變化情況如下:

x	(-∞,-)		(,0)	0	(0,+∞)
F′(x)	+	0	-	0	+
F(x)	↗	極大值	↘	極小值	↗

∴當x=0時,F(x)取得極小值4.

(2)由(1)知F(x)=x³+(2-a)x²+4.

若P:x∈［0,+∞)為Q:F(x)≥0的充分條件,

即F(x)≥0在［0,+∞)恒成立?當x∈［0,+∞)時,F(x)_min≥0.

①若2-a＞0,即a＜2時,

由(1)可知F(x)_min=F(0)=4＞0,符合題意;

②若2-a≤0,即a≥2時,由F′(x)=0求得x₁=,x₂=0,且x₁＞x₂.

∴當x∈［0,+∞)時,F(x)_min=F()≥0,

即()³-(a-2)()²+4≥0,解之,得2≤a≤5.

綜上所述,實數a的取值范圍為a∈(-∞,5］.