Question

（05年湖南卷文）（14分）

已知橢圓C：＋＝1（a＞b＞0）的左．右焦點為F₁、F₂，離心率為e. 直線

l：y＝ex＋a與x軸．y軸分別交于點A、B，M是直線l與橢圓C的一個公共點，P是點F₁關于直線l的對稱點，設＝λ.

   （Ⅰ）證明：λ＝1－e²；

   （Ⅱ）若，△PF₁F₂的周長為6；寫出橢圓C的方程；

   （Ⅲ）確定λ的值，使得△PF₁F₂是等腰三角形.

Answer 1

解析：（Ⅰ）證法一：因為A、B分別是直線l：與x軸、y軸的交點，所以A、B的坐標分別是.

    所以點M的坐標是（）.    由

即

    證法二：因為A、B分別是直線l：與x軸、y軸的交點，所以A、B的坐標分別是設M的坐標是

所以      因為點M在橢圓上，所以 

即

   解得

   （Ⅱ）當時，，所以   由△MF₁F_­2­­的周長為6，得

         所以  橢圓方程為

   （Ⅲ）解法一：因為PF₁⊥l，所以∠PF₁F₂=90°+∠BAF₁為鈍角，要使△PF₁F₂為等腰三角形，必有|PF₁|=|F₁F₂|，即

    設點F₁到l的距離為d，由

    得   所以

    即當△PF₁F_­2­­為等腰三角形.

解法二：因為PF₁⊥l，所以∠PF₁F₂=90°+∠BAF₁為鈍角，要使△PF₁F₂為等腰三角形，必有|PF₁|=|F₁F₂|，

設點P的坐標是，

則

由|PF₁|=|F₁F₂|得

兩邊同時除以4a²，化簡得  從而

于是.    即當時，△PF₁F₂為等腰三角形.