Question

已知函數f(x)＝在區間[－1，1]上是增函數．

(1)求實數a的值組成的集合A；

(2)設x1、x2是關于x的方程f(x)＝的兩個相異實根，若對任意a∈A及t∈[－1，1]，不等式m2＋tm＋1≥|x1－x2|恒成立，求實數m的取值范圍．

 

Answer 1

（1）A＝{a|－1≤a≤1}（2）(－∞，－2]∪[2，＋∞)

【解析】(1)f′(x)＝，

因為f(x)在[－1，1]上是增函數，所以當x∈[－1，1]時，

f′(x)≥0恒成立，

令φ(x)＝x2－ax－2，即x2－ax－2≤0恒成立．解得－1≤a≤1.

所以A＝{a|－1≤a≤1}．

(2)由f(x)＝得x2－ax－2＝0.

設x1，x2是方程x2－ax－2＝0的兩個根，所以x1＋x2＝a，x1x2＝－2.從而|x1－x2|＝，因為a∈[－1，1]，所以≤3，即|x1－x2|max＝3，

不等式對任意a∈A及t∈[－1，1]不等式恒成立，

即m2＋tm－2≥0恒成立．

設g(t)＝m2＋tm－2＝mt＋m2－2，則

解得m≥2或m≤－2.故m的取值范圍是(－∞，－2]∪[2，＋∞)