Question

(本小題12分)
正△ABC的邊長為4，CD是AB邊上的高，E、F分別是AC和BC邊的中點，現將△ABC沿CD翻折成直二面角A—DC—B.

（Ⅰ）試判斷直線AB與平面DEF的位置關系，并說明理由；
（Ⅱ）求直線BC與平面DEF所成角的余弦值；
（Ⅲ）在線段BC上是否存在一點P，使AP⊥DE？證明你的結論.

Answer 1

(1)平行
(2)
(3) 所以在線段BC上存在點P使AP⊥DE

如圖：在△ABC中，由E、F分別是AC、BC中點，得EF//AB，

   又AB平面DEF，EF平面DEF.  ∴AB∥平面DEF.   
（Ⅱ）以點D為坐標原點，直線DB、DC為x軸、y軸，建立空間直角坐標系，則A（0，0，2）B（2，0，0）C（0，
平面CDF的法向量為設平面EDF的法向量為
則即，

（Ⅲ）設
又      
所以在線段BC上存在點P使AP⊥DE 。