Question

8．如圖，三棱柱ABC-A₁B₁C_l中，M，N分別為CC₁，A₁B₁的中點．
（I）證明：直線MN∥平面CAB₁；
（II）BA=BC=BB₁，CA=CB₁，CA⊥CB₁，∠ABB₁=60°，求平面AB₁C和平面A₁B₁C₁所成的角（銳角）的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)AB₁與A₁B交于點O，連接CO，ON，說明O是AB₁的中點，證明四邊形CMNO是平行四邊形，推出MN∥CO．然后證明直線MN∥平面CAB₁．
（Ⅱ）以O(shè)為坐標(biāo)原點，OB，OB₁，OC所在直線分別為x，y，z軸建立如圖空間直角坐標(biāo)系O-xyz，設(shè)OB=1，求出相關(guān)點的坐標(biāo)，求出平面AB₁C的一個法向量；平面A₁B₁C₁的一個法向量，利用空間向量的數(shù)量積求解平面AB₁C和平面A₁B₁C₁所成的角（銳角）的余弦值．

解答 （本小題滿分12分）
證明：（Ⅰ）設(shè)AB₁與A₁B交于點O，連接CO，ON，
因為四邊形ABB₁A₁是平行四邊形，所以是O是AB₁的中點，

N是A₁B₁的中點，所以$ON∥A{A_1}，ON=\frac{1}{2}A{A_1}$．
又因為M是CC₁的中點，所以$CM∥A{A_1}，CM=\frac{1}{2}A{A_1}$．
所以CM$\stackrel{∥}{=}$ON，所以四邊形CMNO是平行四邊形，
所以MN∥CO．
又因為MN?平面CAB₁，CO?平面CAB₁，
所以直線MN∥平面CAB₁．…（5分）
（Ⅱ）因為AB=BB₁，所以平行四邊形ABB₁A₁是菱形，所以BA₁⊥AB₁．
又因為CA=CB₁，所以CO⊥AB₁．
又CA⊥CB₁，且O是AB₁的中點，所以AO=CO．又因為BA=BC，所以△BOC≌△BOA，
所以∠BOC=∠BOA，故OC⊥OB，從而OA，OB，OC兩兩垂直．
以O(shè)為坐標(biāo)原點，OB，OB₁，OC所在直線分別為x，y，z軸建立如圖空間直角坐標(biāo)系O-xyz，設(shè)OB=1，因為∠ABB₁=60°，BA=BB₁，
所
以△ABB₁是等邊三角形，所以$A（0，-\frac{{\sqrt{3}}}{3}，0），{B_1}（0，\frac{{\sqrt{3}}}{3}，0），C（0，0，\frac{{\sqrt{3}}}{3}）$，B（1，0，0），$\overrightarrow{{A_1}{C_1}}=\overrightarrow{AC}=（0，\frac{{\sqrt{3}}}{3}，\frac{{\sqrt{3}}}{3}）$，$\overrightarrow{{C_1}{B_1}}=\overrightarrow{CB}=（1，0，-\frac{{\sqrt{3}}}{3}）$．
因為OA，OB，OC兩兩垂直，所以O(shè)B⊥平面AB₁C，
所以$\overrightarrow{OB}=（1，0，0）$是平面AB₁C的一個法向量；
設(shè)$\overrightarrow{m}$=（x，y，z）是平面A₁B₁C₁的一個法向量，則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{{A}_{1}{C}_{1}}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{{C}_{1}{B}_{1}}=0}\end{array}\right.$，即$\left\{{\begin{array}{l}{\frac{{\sqrt{3}}}{3}y+\frac{{\sqrt{3}}}{3}z=0}\\{x-\frac{{\sqrt{3}}}{3}z=0}\end{array}}\right.$，令$z=\sqrt{3}$，得$x=1，y=-\sqrt{3}$，所以$\overrightarrow{m}$=$（1，-\sqrt{3}，\sqrt{3}）$，
所以$cos＜\overrightarrow{m}，\overrightarrow{OB}＞$=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{OB}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{OB}|}$=$\frac{1}{\sqrt{7}}$=$\frac{\sqrt{7}}{7}$．
所以平面AB₁C和平面A₁B₁C₁所成的角（銳角）的余弦值為$\frac{{\sqrt{7}}}{7}$．…（12分）

點評 本題考查平面與平面所成角的求法，直線與平面平行的判定定理的應(yīng)用，考查空間想象能力以及邏輯推理能力．