Question

如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，PA=AB=1，AD=

3

，點F是PB的中點，點E在邊BC上移動．
（1）點E為BC的中點時，試判斷EF與平面PAC的位置關系，并說明理由；
（2）求證：無論點E在BC邊的何處，都有PE⊥AF；
（3）當BE為何值時，PA與平面PDE所成角的大小為45°？

Answer 1

分析：（1）當點E為BC的中點時，EF與平面PAC平行．由線面平行的判定定理可以證出結論．用線面平行的判定定理證明時要注意把條件寫全．
（2） 無論點E在BC邊的何處，都有PE⊥AF，可建立空間坐標系設點E（x，1，0），求出兩向量PE、AF的坐標，用內積為0證兩線垂直．
（3）求出用E的坐標表示的平面PDE的法向量，由線面角的向量表示公式建立方程求出E的坐標．

解答：解：（1）當點E為BC的中點時，EF與平面PAC平行．
∵在△PBC中，E、F分別為BC、PB的中點，
∴EF∥PC．
又EF?平面PAC，而PC?平面PAC，
∴EF∥平面PAC．

（2）證明：建立如圖所示空間直角坐標系，則
P（0，0，1），B（0，1，0），
F（0，

1

2

，

1

2

），D（

3

，0，0），
設BE=x（0≤x≤

3

），
則E（x，1，0），
；

PE

•

AF

=（x，1，-1）•（0，

1

2

，

1

2

）=0，
∴PE⊥AF．

（3）設平面PDE的法向量為m=（p，q，1），
由

m• PD m• PE

，得m=（

1

3

，1-

x

3

，1）．
而

AP

=（0，0，1），依題意PA與平面PDE所成角為45°，
所以sin45°=

2

2

，
∴

1

1 3 +(1- x 3 )2+1

=

1

2

，
得BE=x=

3

-

2

或BE=x=

3

+

2

＞

3

（舍）．
故BE=

3

-

2

時，PA與平面PDE所成角為45°．

點評：考查用向量證明立體幾何中的問題，此類題的做題步驟一般是先建立坐標系，設出坐標，用線的方向向量的內積為0證線線垂直，線面垂直，用線的方向向量與面的法向量的垂直證面面平行，兩者的共線證明線面垂直．此處為一規律性較強的題，要注意梳理清楚思路．