Question

某公司生產某種產品的固定成本為2萬元，每生產一件產品增加投入150元，已知收益T（單位：元）滿足T（x）=

450x- 1 2 x2(0≤x≤400) 100000(x＞400))

，其中x是產品的月產量．
（Ⅰ）將利潤W表示成月產量x的函數；
（Ⅱ）當月產量為多大時，公司的月利潤最大？（收益=成本+利潤）

Answer 1

分析：（I）月利潤W=月銷售收入T（x）-生產儀器增加投入-固定成本；因T（x）是分段函數，故分別計算0≤x≤400，x＞400 時，W的解析式；
（II）因為利潤函數W是分段函數，所以要分別在0≤x≤400，x＞400 時，計算W的最大值，通過比較得出W在其定義域上的最大值．

解答：解：（I）當0≤x≤400 時，W=450x-

1

2

x²-20000-150x=-

1

2

x²+300x-20000；
當x＞400 時，W=100000-20000-150x=-150x+80000；     
綜上所述：W=

- 1 2 x2+300x-20000，(0≤x≤400) -150x+80000     (x＞400)

．
（II）當0≤x≤400時，f（x）=-

1

2

（x-300）²+25000，
∴當x=300 時，f（x）_max=25000；                  
當x＞400 時，f（x）=-150x+80000 是減函數，
∴f（x）＜-150×400+80000=20000；
 綜上所述，當x=300 時，W_max=25000．
所以，當月產量為250臺時，公司獲得的月利潤最大．

點評：本題考查了分段函數模型的應用，當分段函數求最值時，要分別在每一區間上求出最值，通過比較得出整個定義域上的最值．