Question

(理)設a₁,a₂,…,a₂₀是首項為1,公比為2的等比數列.對于滿足0≤k≤19的整數k,數列b₁,b₂,…,b₂₀由b_n=確定.記M=.

(1)當k=1時,求M的值;

(2)求M的最小值及相應的k的值.

(文)設數列{a_n}的首項a₁=a(a∈R),且a_n+1=n=1,2,3,….

(1)若0＜a＜1,求a₂、a₃、a₄、a₅;

(2)若0＜a_n＜4,證明0＜a_n+1＜4;

(3)若0＜a≤2,求所有的正整數k,使得對于任意n∈N^*,均有a_n+k=a_n成立.

Answer 1

答案：(理)解：(1)顯然a_n=2^n-1,其中1≤n≤20.

當k=1時,b_n=.

所以,

.

(2)M=

 

=(^40-k-2^k)+(2^20+k-2^20-k)

=.

當2^k=,即k=10時,M=.

所以M的最小值為,此時k=10.

(文)(1)解：因為a₁=a∈(0,1),所以a₂=-a₁+4=-a+4,且a₂∈(3,4).所以a₃=a₂-3=-a+1,且a₃∈(0,1).所以a₄=-a₃+4=a+3,且a₄∈(3,4).所以a₅=a₄-3=a.

(2)證明:①當0＜a_n≤3時,a_n+1=-a_n+4,所以1≤a_n+1＜4.

②當3＜a_n＜4時,a_n+1=a_n-3,所以0＜a_n+1＜1.綜上,0＜a_n＜4時,0＜a_n+1＜4.

(3)解：①若0＜a＜1,由(1),知a₅=a₁,所以k=4;因此,當k=4m(m∈N^*)時,對所有的n∈N^*,a_n+k=a_n成立.

②若1≤a＜2,則a₂=-a+4,且a₂∈(2,3],a₃=-a₂+4=-(-a+4)+4=a=a₁,所以k=2;因此,當k=2m(m∈N^*)時,對所有的n∈N^*,a_n+k=a_n成立.

③若a=2,則a₂=a₃=a₄=…,所以k=1.因此,當k=m(m∈N^*)時,對所有的n∈N^*,a_n+k=a_n成立.

綜上,若0＜a＜1,則k=4m;若1≤a＜2,則k=2m;若a=2,則k=m(m∈N^*).