Question

已知定義域為的函數同時滿足以下三個條件：

[1] 對任意的，總有；

[2] ；

[3] 若，，且，則有成立，

并且稱為“友誼函數”，請解答下列各題：

(1)若已知為“友誼函數”，求的值；

(2)函數在區間上是否為“友誼函數”？并給出理由.

(3)已知為“友誼函數”，假定存在，使得且，

求證：.

Answer 1

（1）（2）為友誼函數

解析:

（1）取得，-------2分

又由，得           --------------- 3分

（2）顯然在上滿足[1] ；[2] .-------5分

若，，且，則有

      故滿足條件[1]、[2]、[3]，所以為友誼函數.--8分

(3)由 [3]知任給其中，且有，不妨設則必有：-----------------------------9分

所以：

所以：.-----------------------------------10分

依題意必有,

下面用反證法證明：假設，則有或

（1）若，則，這與矛盾；--12分

(2)若，則，這與矛盾；

     故由上述（1）、（2）證明知假設不成立，則必有，證畢.----14分