Question

某服裝廠生產一種服裝，每件成本為40元，出廠單價定為60元．該廠為鼓勵銷售商訂購，決定當一次定購量超過100件時，每多訂一件，訂購的全部服裝的單價就降低0.02元．根據市場調查，銷售商一次的訂購量不超過500件．
（I）當銷售商一次訂購量為x件時，求該服裝的出廠單價；
（II）當銷售商訂購了450件服裝時，該服裝廠獲得的利潤是多少元？
（Ⅲ）當銷售商一次訂購多少件服裝時，該服裝廠可以或得最大利潤？

Answer 1

分析：（I）服裝的實際出廠單價為P，應按x≤100和x＞100兩類分別計算，故函數P=f（x）應為分段函數；
（II）由（I）可求出銷售商一次訂購了450件服裝時的出廠價P，450（P-40）即為所求；
也可列出當銷售商一次訂購x件服裝時，該服裝廠獲得的利潤函數，再求x=450時的函數值．
（Ⅲ）分別求出x≤100，x＞100時的最大利潤，比較可確定服裝廠可以獲得最大利潤

解答：解：（I）當0＜x≤100時，P=60
當100＜x≤500時，P=60-0.02(x-100)=62-

x

50

所以 P=f(x)=

60 0＜x≤100 62- x 50 100＜x≤500

(x∈N)
（II）設銷售商的一次訂購量為x件時，工廠獲得的利潤為L元，
則 L=(P-40)x=

20x 0＜x≤100 22x- x2 50 100＜x≤500(x∈N)

當x=450時，L=5850
因此，當銷售商一次訂購了450件服裝時，該廠獲利的利潤是5850元．
（Ⅲ）由（II）知：x≤100時，最大利潤為2000元
x＞100時，函數在（100，500]上為單調增函數，故x=500時，利潤最大為6000元
所以當銷售商一次訂購500件服裝時，該服裝廠可以獲得最大利潤

點評：本題以實際問題為載體，考查函數模型的構建，考查函數最值的求解，由于訂購量的不同，優惠不同，故模型為分段函數．