Question

等差數(shù)列{a_n}中，a₃=7，a₁+a₂+a₃=12，令b_n=a_na_n+1，數(shù)列{

1

bn

}的前n項(xiàng)和為T_n．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．
（2）求證：Tn＜

1

3

Answer 1

分析：（1）∵等差數(shù)列{a_n}中，a₃=7，a₁+a₂+a₃=12，故不難構(gòu)造關(guān)于首項(xiàng)和公差的方程組，解方程組求出基本項(xiàng)（首項(xiàng)與公差）不難得到數(shù)列的通項(xiàng)公式，
（2）由（1）的結(jié)論，及b_n=a_na_n+1，可以給數(shù)列{

1

bn

}的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和為T_n的表達(dá)式，再利用不等式的方法易證．

解答：解：（1）設(shè)數(shù)列{a_n}的公差為d，
∵a₃=7，a₁+a₂+a₃=12
∴

a1+2d=7 3a1+3d=12

解得

a1=1 d=3

∴數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為：a_n=3n-2（n∈N^*）
（2）∵b_n=a_na_n-1，
∴b_n=（3n-2）（3n+1）
∴

1

bn

=

1

3

(

1

3n-2

-

1

3n+1

)
∴數(shù)列{

1

bn

}的前n項(xiàng)和
Tn=

1

3

[1-

1

4

+

1

4

-

1

7

+

1

7

-

1

11

++

1

3n-5

-

1

3n-2

+

1

3n-2

-

1

3n+1

]
=

1

3

(1-

1

3n+1

)
＜

1

3

點(diǎn)評(píng)：方程思想是解決數(shù)列問題的基本思想，通過公差列方程（組）來求解基本量是數(shù)列中最基本的方法，同時(shí)在解題中也要注意數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用．如果數(shù)列的通項(xiàng)公式為

1

f(n)•f(n+1)

的形式時(shí)，常使用拆項(xiàng)法將數(shù)列的一項(xiàng)

1

f(n)•f(n+1)

分解為K[

1

f(n)

-

1

f(n+1)

]的形式，利用相鄰項(xiàng)之間的正負(fù)項(xiàng)可以抵消來簡(jiǎn)化數(shù)列的前n項(xiàng)和表達(dá)式．