Question

對于每個正整數n，拋物線y=（n²+n）x²-（2n+1）x+1與x軸交于兩點A_n、B_n，則|A₁B₁|+|A₂B₂|+…+|A₂₀₁₀B₂₀₁₀|的值為

 

Answer 1

分析：A_n、B_n，是拋物線y=（n²+n）x²-（2n+1）x+1與x軸的交點，所以其橫坐標為（n²+n）x²-（2n+1）x+1=0的根，由根與系數的關系可得，xAn+xBn=

2n+1

n2+n

，xAnxBn=

1

n2+n

因為|A_nB_n|=|xAn-xBn|，將其用兩根之和與兩根之積表示出來，化簡即可得出線段|A_nB_n|的表達式．

解答：解：由已知A_n、B_n的橫坐標為（n²+n）x²-（2n+1）x+1=0的根，
由根與系數的關系可得，xAn+xBn=

2n+1

n2+n

，xAnxBn=

1

n2+n

①
因為|A_nB_n|=|xAn-xBn|=

(xAn+xBn)2-4xAnxBn

②
將①中的數據代入②整理得|A_nB_n|=

1

n

-

1

n+1

故|A₁B₁|+|A₂B₂|+…+|A₂₀₁₀B₂₀₁₀|=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

2010

-

1

2011

=

2010

2011

故應填

2010

2011

．

點評：本題主要考查零點與方程根的對應關系及化簡計算的能力，變形的技巧，可以之訓練答題者觀察探究的能力與意識．