Question

【題目】如圖，在三棱錐與三棱錐中，和都是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，分別為的中點(diǎn)，，．

（Ⅰ）試在平面內(nèi)作一條直線，當(dāng)時(shí)，均有平面（作出直線并證明）；

（Ⅱ）求兩棱錐體積之和的最大值.

Answer 1

【答案】(1)見(jiàn)解析;(2).

【解析】分析：(Ⅰ)即過(guò)H點(diǎn)作一平面與平面ABC平行，與平面EFC的交線為直線。H為中點(diǎn)，所以取的中點(diǎn)為，的中點(diǎn)為，連，則即為所作直線.

（Ⅱ）把兩個(gè)三棱錐的體積和轉(zhuǎn)化為兩個(gè)四棱錐的體積和，

即，求梯形EFBD的面積最大值。

詳解：（Ⅰ）設(shè)的中點(diǎn)為，的中點(diǎn)為，連，則即為所作直線.

因?yàn)?/span>分別為的中點(diǎn)，所以，

又平面，平面，所以平面，

因?yàn)?/span>分別為的中點(diǎn)，所以，

因?yàn)?/span>，所以

又平面，平面，所以平面，

因?yàn)?/span>，平面，所以平面平面，

由知平面，所以平面.

（Ⅱ）因，所以與確定一個(gè)平面.

連，因，為的中點(diǎn)，

所以，同理；

又，所以平面

所以

其中，，為梯形的高，，

當(dāng)平面平面時(shí)，，

所以 .