Question

【題目】橢圓的右焦點為，為圓與橢圓的一個公共點，.

（Ⅰ）求橢圓的標準方程；

（Ⅱ）如圖，過作直線與橢圓交于，兩點，點為點關于軸的對稱點.

（1）求證：；

（2）試問過，的直線是否過定點？若是，請求出該定點；若不是，請說明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）（1）見解析；（2）見解析

【解析】

（Ⅰ）根據題意布列關于a，b的方程組，即可得到橢圓的標準方程；

（Ⅱ）（1）由題意，設的方程為，聯立方程可得，利用韋達定理即可得到結果；（2）直線的方程為，可化為 .從而得到定點.

（Ⅰ）解：設是橢圓的左焦點，連接，，.

∵，∴.

∴.

∴.∴.

又∵，，∴.

∴橢圓的標準方程為.

（Ⅱ）（1）證明：① 當直線斜率為0時，的方程為，∴，等式顯然成立；

②當直線斜率不為0時，由題意，設的方程為.

∵，，點為點關于軸的對稱點，則.

整理，得.

，

，.

∴

.

∴等式成立.

（2）解：過，的直線過定點.

①當直線斜率不為0時，∵，

∴直線的方程為，

即，

即.

由（1）可知，，

∴

.

∴ .

∴過，的直線過定點；

②當直線斜率為0時，的方程為，直線也過定點.

綜上可知，過，的直線過定點.