Question

已知等腰梯形PDCB中(如圖),PB=3,DC=1,PD=BC=,A為PB邊上一點(diǎn),且PA=1,將△PAD沿AD折起,使平面PAD⊥平面ABCD(如圖).
(1)證明：平面PAD⊥平面PCD.
(2)試在棱PB上確定一點(diǎn)M,使截面AMC把幾何體分成的兩部分V_PDCMA∶V_MACB=2∶1.
(3)在M滿足(2)的情況下,判斷直線PD是否平行平面AMC.

Answer 1

（1）見(jiàn)解析   （2）M為線段PB的中點(diǎn)時(shí)   （3）不平行

(1)因?yàn)镻DCB為等腰梯形,PB=3,DC=1,PA=1,則PA⊥AD,CD⊥AD.
又因?yàn)槊鍼AD⊥面ABCD,面PAD∩面ABCD=AD,CD?面ABCD,故CD⊥面PAD.
又因?yàn)镃D?面PCD,所以平面PAD⊥平面PCD.
(2)所求的點(diǎn)M即為線段PB的中點(diǎn).
證明如下：
設(shè)三棱錐M-ACB的高為h₁,四棱錐P-ABCD的高為h₂,
當(dāng)M為線段PB的中點(diǎn)時(shí),==,
所以===,所以截面AMC把幾何體分成的兩部分V_PDCMA∶V_MACB=2∶1.
(3)當(dāng)M為線段PB的中點(diǎn)時(shí),直線PD與面AMC不平行.
證明如下：(反證法)假設(shè)PD∥面AMC,
連接DB交AC于點(diǎn)O,連接MO.
因?yàn)镻D?面PBD,且面AMC∩面PBD=MO,
所以PD∥MO.
因?yàn)镸為線段PB的中點(diǎn)時(shí),則O為線段BD的中點(diǎn),即=,
而AB∥DC,故==,故矛盾.
所以假設(shè)不成立,故當(dāng)M為線段PB的中點(diǎn)時(shí),直線PD與平面AMC不平行.