Question

【題目】已知橢圓的焦距為2，離心率為，軸上一點(diǎn)的坐標(biāo)為．

（Ⅰ）求該橢圓的方程；

（Ⅱ）若對(duì)于直線，橢圓上總存在不同的兩點(diǎn)與關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，且,求

實(shí)數(shù)的取值范圍．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）由已知易得，；（Ⅱ）由已知當(dāng)橢圓上總存在不同的兩點(diǎn)與關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)時(shí)，取弦中點(diǎn)，由中點(diǎn)弦問(wèn)題可知，又，可得，由在橢圓內(nèi)，故，即，又聯(lián)立，得，，得，所以的取值范圍為.

試題解析：（Ⅰ）由題意知：，，所以，．

所以所求的橢圓的方程為．

（Ⅱ）由題意設(shè)，，直線方程為：．

聯(lián)立消整理可得：，

由，解得

，，

設(shè)直線之中點(diǎn)為，則，

由點(diǎn)在直線上得：，

又點(diǎn)在直線上，，所以……①

又，，

∴

解得：……②

綜合①②，的取值范圍為．

（法二：請(qǐng)酌情給分）

由題意設(shè)，，直線的中點(diǎn)為，

則，

將，兩點(diǎn)分別代入橢圓方程，

并聯(lián)立，兩式相減得：，

即，

又，所以，，

所以，的中點(diǎn)的軌跡方程為：，

由得：，即，

又∵在橢圓內(nèi)，∴，即，

即，①

另一方面：易知：直線的方程；

聯(lián)立，消去并整理得：，

∴，，

又，，

∴

解得：，②

綜合①②：的取值范圍為