Question

已知：數列的前項和為，且滿足，.
（Ⅰ）求：，的值；
（Ⅱ）求：數列的通項公式；
（Ⅲ）若數列的前項和為，且滿足，求數列的
前項和.

Answer 1

（Ⅰ）,（Ⅱ）（Ⅲ）

試題分析：（Ⅰ）因為，
令 ，解得；令，解得，                           ……2分
（Ⅱ），
所以，（）
兩式相減得 ，                                             ……4分
所以，（）                               ……5分
又因為
所以數列是首項為，公比為的等比數列，                       ……6分
所以，即通項公式 （）.                      ……7分
（Ⅲ），所以
所以
                 ……9分
令   ①
  ②
①－②得

                                              ……11分
                                ……12分
所以.                                    ……13分
點評：數列的遞推關系式也是給出數列的一種常見形式，由遞推公式求通項公式的方法有累加、累乘和構造新數列等，而求和需要掌握公式法、分組法、裂項法和錯位相減法等方法.