Question

已知z是實系數方程x²+2bx+c=0的虛根，記它在直角坐標平面上的對應點為P_z（Rez，Imz），
（1）若（b，c）在直線2x+y=0上，求證：P_z在圓C₁：（x-1）²+y²=1上；
（2）給定圓C：（x-m）²+y²=r²（m、r∈R，r＞0），則存在唯一的線段s滿足：①若P_z在圓C上，則（b，c）在線段s上；②若（b，c）是線段s上一點（非端點），則P_z在圓C上。寫出線段s的表達式，并說明理由；
（3）由（2）知線段s與圓C之間確定了一種對應關系，通過這種對應關系的研究，填寫表（表中s₁是（1）中圓C₁的對應線段）。

Answer 1

解：（1）由題意可得，
解方程，得

∴點或
將點代入圓的方程，等號成立
∴在圓上；
（2）當，即時
解得
∴點或
由題意可得
整理后得
∵，
∴
線段s為，
若是線段s上一點（非端點），則實系數方程為

此時，且點，在圓C上。
（3）如表：
。