Question

已知函數.
（1）求函數的單調區間；
（2）當時，試討論是否存在，使得.

Answer 1

（1）詳見解析；（2）詳見解析.

試題分析：（1）先求出導數為二次函數，對和進行分類討論，根據導數的正負求出函數的單調區間；（2）由作差法將等式進行因式分解，得到
，于是將問題轉化為方程在上有解，并求出該方程的兩根，并判定其中一根在區間上，并由
以及確定滿足條件時的取值范圍，然后取相應的補集作為滿足條件時的取值范圍.
（1），方程的判別式為，
①當時，，則，此時在上是增函數；
②當時，方程的兩根分別為，，
解不等式，解得或，
解不等式，解得，
此時，函數的單調遞增區間為和，
單調遞減區間為；
綜上所述，當時，函數的單調遞增區間為，
當時，函數的單調遞增區間為和，
單調遞減區間為；
（2）



，
若存在，使得，
必須在上有解，
，，
方程的兩根為，，
，，
依題意，，即，
，即，
又由得，
故欲使滿足題意的存在，則，
所以，當時，存在唯一滿足，
當時，不存在滿足.