Question

已知函數f（x）是定義在R上的偶函數，當x≥0時，f（x）=-

7x

x2+x+1

．
（1）求x＜0時，f（x）的解析式；
（2）試確定函數y=f（x）（x≥0）單調區間，并證明你的結論．

Answer 1

分析：（1）根據函數偶函數的定義可知f（-x）=f（x），設x＜0則-x＞0，代入當x≥0時f（x）的解析式即可求出x＜0時，f（x）的解析式；
（2）設x₁，x₂是區間[0，+∞）上任意兩個實數，且0≤x₁＜x₂，然后判定f（x₁）-f（x₂）的符號，最后根據函數單調性的定義進行判定即可．

解答：解：（1）若x＜0則-x＞0，∵f（x）是偶函數，
∴f(x)=f(-x)=

-7(-x)

(-x)2+(-x)+1

=

7x

x2-x+1

（2）設x₁，x₂是區間[0，+∞）上任意兩個實數，且0≤x₁＜x₂，則f（x₁）-f（x₂）f(x1)-f(x2)=

-7x1

x 2 1 +x1+1

-

-7x2

x 2 2 +x2+1

=

7(x1-x2)(x1x2-1)

( x 2 1 +x1+1)( x 2 2 +x2+1)

當0≤x₁＜x₂≤1時，x₁-x₂＜0，x₁x₂-1＜0而x₁²+x₁+1＞0及x₂²+x₂+1＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0即f（x）在[0，1]上為減函數．
同理當1＜x₁＜x₂時，f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x）在（1，+∞）上為增函數

點評：本題主要考查了函數的奇偶性、單調性以及函數的解析式等有關知識，同時考查了計算能力，屬于基礎題．